Элементы атомной физики и квантовой механики. Физика твёрдого тела

Контрольная работа 6.
ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

Введите номер задачи и нажмите кнопку "Решение", или решите задачу на основании нижепредставленных формул.

Основные формулы по курсу "Элементы атомной физики и квантовой механики. Физика твёрдого тела"

Боровская теория водородоподобного атома. Момент импульса электрона (второй постулат Бора)$$L_n=\hbar n \qquad или \qquad mv_nr_n=\hbar n,$$где $m$ — масса электрона; $v_n$ — скорость электрона на $n$-ой орбите; $r_n$ — радиус $n$-ой стационарной орбиты; $\hbar$ — постоянная Планка $\left(\hbar=6,63\cdot10^{-34}Дж;\cdot с\right)$; $n$ — главное квантовое число (n=1,2,3,...).

Радиус $n$-ой стационарной орбиты $$r_n=a_0n^2,$$где $a_0$ — первый боровский радиус.

Энергия электрона в атоме водорода $$E_n=E_i/n^2,$$где $E_i$ — энергия ионизации атома водорода.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода, $$\varepsilon=\hbar \omega =E_{n_2}-E_{n_1},$$или $$\varepsilon = E_i \left( {1 \over {n_1^2}}-{1 \over {n_2^2}} \right) ,$$где $n_1$ и $n_2$ — квантовые числа, соответсвующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число $$\tilde \nu=\frac 1 \lambda = R \left( {1 \over {n_1^2}}-{1 \over {n_2^2}} \right),$$где $\lambda$ — длина волны излучения или поглощения атомом; $R$ — постоянная Ридберга $\left(R=1,1 \cdot 10^7 м^{-1}\right)$.

Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля$$\lambda={{2\pi\hbar}\over p},$$где $p$ — импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией $T$: $$ a) \quad p=m_o v;\quad p=\sqrt{2 m_0 T}; \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$ $$ б) \quad p=m v={{m_0 v} \over {\sqrt{1-\left({\frac v c}\right)^2}}};\quad p=\frac 1 c \sqrt{\left(2E_0+ T\right)T} \; , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $$где $m_0$ — масса покоя частицы; $m$ — релятивистская масса частицы; $v$ — скорость частицы; $с$ — скорость света в вакууме; $E_0$ — энергия покоя частицы $\left(E_0=m_0c^2\right)$.

Соотношение неопределённостей:

а) $\Delta p_x \Delta x \ge \hbar $ (для координаты и импульса),

где $\Delta p_x$ — неопределённость проекции импульсяа на ось $X$; $ \Delta x $ — неопределённость координаты;

б) $\Delta E \Delta t \ge \hbar $ (для энергии и времени),

где $\Delta$ — неопределённость энергии; $\Delta t $ — время жизни квантовой частицы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний$${{d^2\psi}\over{dx^2}}+{{2m}\over{\hbar^2}}(E-U)\psi(x)=0,$$где $\psi(x)$ — волновая функция, описывающая состояние частицы; $m$ — масса частицы; $E$ — полная энергия; $U=U(x)$ — потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности$${{dw(x)}\over{dx}}=|\psi(x)|^2,$$где $dw(x)$ — вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой $x$ на участке $dx$.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от $x_1$ до $x_2$$$w=\int_{x_1}^{x_2}|\psi(x)|^2dx.$$

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) $\psi_n(x)=\sqrt{\frac 2l}sin{{\pi n}\over l}x$ (собственная нормированная волновая функция);

б) $E_n={{\pi^2 \hbar^2 n^2}\over{2ml^2}}$ (собственное значение энергии),

где $n$ квантовое число ($n=1, 2, 3,...) $; $l$ — ширина ящика. В области $0 \le x \le l, U=\infty$ и $\psi(x)=0.$

Атомное ядро. Радиоактивность. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)$$A=Z+N,$$где $Z$ — зарядовое число (число протонова); $N$ — число нейтронов.

Закон радоактивного распада $$dN=-\lambda N dt, \qquad или \qquad N=N_0e^{-\lambda t }$$где $dN$ — число ядер, распадающихся за интервал времени $dt$; $N$ — число ядер, не распавшихся к моменту времени $t$; $N_0$ — число ядер в начальный момент времени ($t=0$); $\lambda$ — постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время $t$,$$\Delta N=N_0-N=N_0\left(1-e^{-\lambda t}\right).$$

В случае, если интервал времени $\Delta t$, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада $T_{1/2}$, то число распавшихся ядер можно определить по формуле$$\Delta N = \lambda N \Delta t.$$

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада$$T_{1/2}={{ln2}\over{\lambda}}={{0,693}\over{\lambda}}.$$

Среднее время $\tau$ жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в $e$ раз,$$\tau=\frac 1 \lambda.$$

Число $N$ атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе, $$N={{mN_A}\over \mu},$$где $m$ — масса изотопа; $\mu$ — молярная масса; $N_A$ — постоянная Авогадро.

Активность $A$ радиоактивного изотопа$$A=-{{dN}\over{dt}}=\lambda N, \qquad или \qquad A=\lambda N_0 e^{-\lambda t}=A_0e^{-\lambda t},$$где $dN$ — число ядер, распадающихся за интервал времени $dt$; $A_0$ — активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа $a=A/m$.

Дефект массы ядра$$\Delta m =Zm_p+(A-Z)m_n-m_я,$$где $Z$ — зарядовое число (число протонов в ядре); $A$ — массовое число (число нуклонов в ядре); ($A-Z$) — число нейтронов в ядре; $m_p$ — масса протона; $m_n$ — масса нейтрона; $m_я$ — масса ядра.

Энергия связи ядра$$E_{св}=\Delta mc^2,$$где $\Delta m$ — дефект масс ядра; $c$ — скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна $E_{св}=931\Delta m$, где дефект массы $\Delta m$ — в а.е.м.; $931$ — кооффициент пропорциональности (1 а.е.м.\sim 931 МэВ).

Теплоёмкость кристалла. Средняя энергия квантового одномерного осциллятора$$\left< \varepsilon \right>=\varepsilon_0+{{\hbar \omega}\over {e^{\hbar \omega/kT}-1}},$$где $\varepsilon_0$ — нулевая энергия $\left(\varepsilon_0=\hbar \omega/2\right)$; $\hbar$ — постоянная Планка; $\omega$ — круговая циклическая частота колебаний осциллятора; $k$ — постоянная Больцмана; $T$ — термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осциляторов,$$U_m=U_{0m}+{{3R\Theta_E}\over{e^{\Theta_E/T}-1}},$$где $R$ — молярная газовая постоянная; $\Theta_E=\hbar \omega /k$ — характеристическая температура Эйнштейна; $U_{0m}=$⅔$R\Theta_E$ — молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

Молярная теплоёмкость кристаллического твёрдого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)$$C_m={{12\pi^4}\over 5}R\left({T\over {\Theta_D}}\right)^3=234R\left({T\over {\Theta_D}}\right)^3 \qquad \left( T \ll \Theta_D \right).$$

Теплота, необходимая для нагревания тела,$$Q=\frac mM \int_{T_1}^{T_2}C_mdT,$$где $m$ — масса тела; $mu$ — молярная масса; $T_1$ и $T_2$ — начальная и конечная температура тела.

Элементы квантовой статистики. Распределение свободных электронов в металле по энергиям при $0К$$$dn(\varepsilon)={1 \over {2\pi^2}} \left({{2m} \over {\hbar^2}}\right)^{3/2}\varepsilon^{1/2}d\varepsilon,$$где $dn(\varepsilon)$ — концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от $\varepsilon$ до $\varepsilon+d\varepsilon$; $m$ — масса электрона. Это выражение справедливо при $\varepsilon \lt \varepsilon_F$ (где $\varepsilon_F$ — энергия или уровень Ферми).

Энергия Ферми в металле при $T=0 К$$$\varepsilon_F={{\hbar^2}\over {2m}}\left(3\pi^2n\right)^{2/3},$$где $n$ — концентрация электронов в металле.

Полупроводники. Удельная проводимость собственных полупроводников$$\gamma=\gamma_0exp\left(-{{\Delta E}\over {2kT}}\right),$$где $\Delta E$ — ширина запрещённой зоны; $\gamma_0$ — константа.

Сила тока в $p-n$–переходе$$I=I_0\left[exp\left({{eU}\over{kT}}\right)-1\right],$$где $I_0$ — предельное значение силы обратного тока; $U$ — внешнее напряжение, приложенное к $p-n$–переходу.

Контактные и термоэлектрические явления. Внутренняя контактная разность потенциалов$$U_{12}={{\varepsilon_{F_1}-\varepsilon_{F_2}}\over e},$$где $\varepsilon_{F_1}$ и $\varepsilon_{F_2}$ — энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; $e$ — заряд электрона.

ψ(r) = Ae^-r/a₀,

где А– некоторая постоянная; а₀ – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.
637. Частица находится в основном состоянии в прямоугольной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются вероятности местонахождения частицы: w₁ – в крайней трети и w₂ – в крайней четверти ящика?
638. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид

ψ(r) = Ae^-r/a₀,

где А – некоторая постоянная; а₀ – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение <F> кулоновской силы.
639. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале 0<x<l плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.
640. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид

ψ(r) = Ae^-r/a₀,

⁷Li(p,n)⁷Be и ¹⁶О(d,α)¹⁴N

К. Р. 5 В начало