Задача. Компланарны ли векторы \(\mathbf a, \mathbf b\) и \(\mathbf c\)?
Для решения задачи введите координаты векторов в окошки ниже и нажмите Решить.
Что такое компланарные векторы?
Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Таким образом, компланарные векторы могут лежать в одной плоскости или существет плоскость, которой параллельны все три вектора. Если же векторы некомпланарные, то они не лежат в одной плоскости и не существует такой плоскости, которой были бы параллельны все три вектора.
На некомпланарных векторах, как на рёбрах, можно построить параллелепипед. На компланарных векторах этого сделать нельзя.
На рисунке изображены некомпланарные векторы \(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c\).
Другими словами некомпланарные векторы образуют трёхмерную пространственную структуру, а компланарные векторы образуют двухмерную плоскую структуру. Если векторы компланарные, то они являются линейно зависимыми, то есть любой из них может быть выражен, как линейная комбинация двух других, например, \[\mathbf c=\alpha \cdot \mathbf a+\beta \cdot \mathbf b.\]
Если векторы некомпланарные, то они являются линейно независимыми, и их линейная комбинация тривиальна, то есть \[\alpha \cdot \mathbf a+\beta \cdot \mathbf b+\gamma \mathbf c=0,\] лишь тогда, когда все три числа \(\alpha, \beta, \gamma\) одновременно равны нулю.
Векторы \(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c\) являются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Векторы \(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c\) являются некомпланарными, если их смешанное произведение не равно нулю.
Смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов. Если, к примеру, \[\mathbf a\{x_a; y_a; z_a\}, \mathbf b\{x_b; y_b; z_b\}, \mathbf c\{x_c; y_c; z_c\},\] то смешанное произведение векторов равно $$\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c=\begin{vmatrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\x_c & y_c & z_c \\ \end{vmatrix}.$$
Следовательно, если \(\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c=0\), то векторы \(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c\) есть компланарные векторы, а если \(\mathbf a\cdot \mathbf b\cdot \mathbf c \neq 0\), то векторы \(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c\) есть некомпланарные векторы.
Написать уравнение прямой, проходящей через две точки ОНЛАЙН
Компланарны ли векторы ОНЛАЙН
Вычислить определитель ОНЛАЙН
Транспонирование матриц ОНЛАЙН
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ОНЛАЙН
Найти косинус угла между векторами ОНЛАЙН
Найти длину вектора ОНЛАЙН
Решить квадратное уравнение ОНЛАЙН