Уравнение прямой на плоскости

        Пусть прямая l параллельна вектору a ={p,q} и проходит через точку M₀(x₀, y₀) , тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде

                        (1)
        Уравнение (1) называется каноническое уравнение прямой, а вектор a ={p, q} — направляющим вектором прямой l .
        Легко убедится, что это действительно так. Рассмотрим произвольную точку прямой M(x, y) . Тогда вектор         лежит на прямой l . Но прямая l параллельна вектору a ={p,q} . Следовательно, векторы         и a ={p,q} параллельны одной прямой, то есть они коллинеарные. Но тогда         , или x − x₀ = kp, y − y₀ = kq. А отсюда следует, что


        Приравнивая два последних равенства, получим уравнение (1).

        Если прямая l проходит через две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), то её уравнение может быть записано в виде

                        (2)
        В этом легко убедиться, если заметить, что вектор         лежит на данной прямой, а, следовательно, коллинеарен ей. То есть вектор         является направляющим вектором прямой l . Кроме того, прямая l проходит через точку M₁(x₁, y₁) . Применяя к этой прямой уравнение (1) и учитывая, что p = x₂ − x₁ , q = y₂ − y₁, получим уравнение (2).

        Так как в уравнении (1) обе дроби равны, то они равны одному и тому же числу . Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде


        Отсюда получим систему


        Отсюда получаем параметрические уравнения прямой.

                                    (3)

Здесь, как и в (1), a ={p,q} — направляющий вектор, а M₀(x₀, y₀) — произвольная точка, через которую проходит прямая.

A·(x − x₀) + B·( y − y₀) = 0                         (4)
        Убедимся, что так и есть. Рассмотрим произвольную точку прямой M(x, y) . Тогда вектор         лежит на прямой l. Следовательно, вектор         перпендикулярен вектору N ={A, B}. Но если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть         . Раскрывая скалярное произведение, как сумму произведений соответствующих координат, получим выражение (4).
        Вектор N ={A, B} называется нормальный вектор прямой.

        Общее уравнение прямой это уравнение прямой вида

A·x + B· y + C = 0                         (5)
        Общее уравнение прямой легко получить из уравнения (4), если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

        Нормальное уравнение прямой это уравнение прямой вида

x·cosα + y· cosβ − p = 0.                         (6)

Здесь p — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую – расстояние от начала координат до прямой. α, β — углы, образованные перпендикуляром с осями координат.
        Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой. Для этого, общее уравнение (5) необходимо умножить на нормирующий множитель

Здесь sign(C) = ± 1 — знак C. Принимаем sign(C) = 1, если C > 0 . Если C < 0 , то sign(C) = −1 . Величины A, B, C это коэффициенты общего уравнения (5).

        Если прямая отсекает на осях координат x, y отрезки a и b соответственно, то её уравнение может быть записано в виде

                        (7)
        Это уравнение получается из общего уравнения, если в общем уравнении (5) перенести C вправо, а затем поделить обе части уравнения на − C. При этом         .

        Если прямая проходит через начало координат, то C = 0 и общее уравнение прямой имеет вид

A·x + B· y = 0.
        Если прямая параллельна оси Ox , то A = 0 и её общее уравнение прямой имеет вид

B·y + C = 0,     или y = y₀.
        Если прямая параллельна оси Oy, то B = 0, то и её общее уравнение прямой имеет вид

A·x + C = 0,     или x = x₀.

        Уравнение прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида

y = k·x + b.                         (8)
Здесь k = tgα, а α — угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс Ox . Величина b равна координате пересечения прямой с осью ординат Oy.
        Это уравнение легко получается из любого уравнения. Для этого необходимо из взятого уравнения выразить y через x .