Бесплатные решения из раздела X
Линейная алгебра сборника заданий Кузнецова Л. А.

Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить её.

Решение

        Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму Её матрица         Составим характеристическое уравнение или         Расписывая определитель, получим .         Раскрывая скобки, получим квадратное уравнение         Отсюда, дискриминант и корни         Следовательно, квадратичная форма преобразуется к каноническому виду , а заданное уравнение - к виду , или .        Данная линия - эллипс.
        Можно указать и базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид. Его легко получить исходя из собственных векторов линейного преобразования с матрицей     .
        Найдём собственные векторы линейного преобразования.
        Для         или         Отсюда         и мы имеем собственный вектор         Для     или         Отсюда         и мы имеем собственный вектор         Предполагая, что исходный базис - ортонормированный, находим длину вектора   , равную . Тогда единичный вектор, сонаправленный с        , будет         Аналогично, длина вектора         равна и единичный вектор, сонаправленный с         , будет         Базис         является искомым базисом, в котором данное уравнение принимает канонический вид.
        Если обозначить векторы исходного базиса через         , то .         Формулы преобразования координат         Сделаем чертёж.