Задача 3. Решить смешанную задачу.
Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.
3.24. Решить смешанную задачу. \(\qquad u_t=u_{xx}; \qquad u(x,0)=12cos7\pi x; \qquad u_x(0,t)=0, \qquad u(1,5;t)=0.\)
Решение.
Решаем задачу по методу Фурье. Решение имеет вид: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x).$$Здесь \(X_n(x)=A_n cos(\lambda_n x)+B_n sin(\lambda_n x)\) — собственные функции с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;$$T_n(t)=e^{-\lambda_n^2t.}$$ Здесь \(\lambda_n\) — собственные числа; \(A_n, B_n\) — коэффициенты, определяемые по начальным и граничным условиям.
Граничные условия для функциq \(X_n(x)\) принимают вид: $$X'_n(0)=0; \qquad X_n(1,5)=0.$$
Подставим производную $$X'_n(x)=-\lambda_n A_nsin(\lambda_n x)+\lambda_n B_n cos(\lambda_n x)$$
в первое граничное условие $$X'_n(0)=-\lambda_n A_n sin(0)+\lambda_n B_n cos(0)=\lambda_n B_n=0,$$
из которого получаем \(B_n=0\) и \(X_n(x)=A_n cos(\lambda_n x)\).
Подставляем во второе граничное условие$$X_n(1,5)=A_n cos(1,5 \lambda_n)=0.$$Отсюда получаем \(1,5\lambda_n=0,5\pi+\pi n\), и тогда собственные числа $$\lambda_n=\frac{\pi}3(1+2n).$$ Решение смешанной задачи$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x)=\sum_{n=1}^\infty A_ne^{-\lambda_n^2t}cos(\lambda_n x)$$ подставим в начальное условие$$u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty A_n cos(\lambda_n x)=12cos7\pi x,$$откуда получим \(\lambda_n=7\pi\) или $$\frac{\pi}3(1+2n)=7\pi$$ и \(n=10\), а значит \(A_{10}=12\) и \(A_{n\neq 10}=0\).
Искомое решение смешанной задачи$$u(x,t)=12e^{-49\pi^2t}cos(7\pi x).$$
Ответ:Решение смешанной задачи \(u(x,t)=12e^{-49\pi^2t}cos(7\pi x)\).