Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.
=
Введите коэффициенты и длины векторов. Если перед p или q ничего не стоит или стоит +, то оставьте в соответствующем окошке единицу. Если стоит число, то поставьте это число. Если стоит отрицательное число, то ставьте отрицательное число. Если длина вектора не целая, то ставьте десятичную дробь. Например, вместо 1/5 ставьте 0.2, а вместо 1/2 ставьте 0.5. Заметьте, дробная часть отделяется точкой, а не запятой.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\) равна$$S=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot sin\gamma.$$Здесь \(|\vec a|, \, |\vec b|\) — длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) соответственно, а \(\gamma\) — угол между векторами.
С другой стороны длина векторного произведения векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равна$$|[\vec a,\, \vec b]|=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot sin\gamma.$$ Исходя из сказанного получается, что площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\) равна длине векторного произведения: \(S=|[\vec a,\, \vec b]|.\) Следовательно, чтобы найти площадь параллелограмма нужно сначала найти векторное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b.\) Но в нашем случае вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) выражеы через вектора \(\vec p, \, \vec q,\) их длины у гол межды ними. Поэтому мы можем найти векторное произведение векторов \(\vec p\) и \(\vec q\) по формуле$$|[\vec p,\, \vec q]|=|\vec p|\cdot|\vec q|\cdot sin\left(\widehat{\vec p,\vec q}\right).$$ Воспользовавшись свойствами векторного произведения сможем найти и \([\vec a, \,\vec b].\) Имеются в виду следующие свойства векторного произведения:
1) Дистрибутивность$$[\vec a+\vec b,\, \vec c]=[\vec a,\, \vec c]+[\vec b,\, \vec c]; \qquad \qquad[\vec a,\, \vec b+\vec c]=[\vec a,\, \vec b]+[\vec a,\, \vec c];$$
2) Ассоциативность$$[\alpha\cdot\vec a, \, \vec b]=\alpha[\vec a,\, \vec b]; \qquad \qquad[\vec a,\, \beta\cdot\vec b]=\beta[\vec a,\, \vec b];$$
3) Антикоммутативность $$[\vec b, \, \vec a]=-[\vec a,\, \vec b];$$
4) Нильпотентность $$[\vec a, \, \vec a]=0;$$ На основании этих свойств можем выразить векторное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) через векторное произведение векторов \(\vec p\) и \(\vec q.\) Действительно, пусть $$\vec a=a_1\vec p+a_2\vec q\qquad \qquad и \qquad \qquad \vec b=b_1\vec p+b_2\vec q.$$ Тогда, на основании свойств дистрибутивности и ассоциативности, векторное произведение запишется$$[\vec a,\, \vec b]=[a_1\vec p+a_2\vec q,\, b_1\vec p+b_2\vec q]=a_1b_1[\vec p,\, \vec p]+a_1b_2[\vec p,\, \vec q]+a_2b_1[\vec q,\, \vec p]+a_2b_2[\vec q,\, \vec q].$$ На основании свойства 4) получаем \([\vec p,\, \vec p]=[\vec q,\, \vec q]=0,\) и, следовательно,$$[\vec a,\, \vec b]=a_1b_2[\vec p,\, \vec q]+a_2b_1[\vec q,\, \vec p].$$ На основании антикоммутативности \([\vec q,\,\vec p]=-[\vec p,\, \vec q],\) поэтому$$[\vec a,\, \vec b]=a_1b_2[\vec p,\, \vec q]-a_2b_1[\vec p,\, \vec q]=(a_1b_2-a_2b_1)[\vec p,\, \vec q].$$ Тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\) равна$$S=|[\vec a,\,\vec b]|=|(a_1b_2-a_2b_1)[\vec p,\, \vec q]|=|a_1b_2-a_2b_1|\cdot|[\vec p,\, \vec q]|.$$ Используя формулу длины векторного произведения, получим$$S=|a_1b_2-a_2b_1|\cdot|\vec p|\cdot|\vec q|\cdot sin\left(\widehat{\vec p,\vec q}\right).$$ Можете подставить свои значения в последнюю формулу и посчитать. Так вы найдёте площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\).
Компланарны ли векторы ОНЛАЙН
Написать уравнение прямой, проходящей через две точки ОНЛАЙН
Вычислить определитель ОНЛАЙН
Транспонирование матриц ОНЛАЙН
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ОНЛАЙН
Найти косинус угла между векторами ОНЛАЙН
Найти длину вектора ОНЛАЙН
Решить квадратное уравнение ОНЛАЙН