|
Бесплатные решения из раздела X
Линейная алгебра сборника заданий Кузнецова Л. А.
Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
Попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 31.
9.31 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы  .
Решение
Составим характеристическое уравнение  или  .
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые  или  . Отсюда  или  . Вынесем общий множитель за скобки. Тогда получим уравнение 
Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений  Второе уравнение совокупности - квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом  Следовательно оно не имеет действительных корней. Поэтому характеристическое уравнение имеет только один действительный корень  , а матрица только одно собственное значение .
Найдём собственный вектор, принадлежащий этому собственному значению, решая уравнение  Расписывая по компонентам и подставляя , получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: Второе и третье уравнения одинаковые. Поэтому систему можно переписать в виде: Сложим оба уранения, а затем из второго вычтем первое. Получим  Отсюда и мы имеем собственный вектор x=
Вариант 9 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 15 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 22 Вариант 30
|
|