БЕСПЛАТНЫЕ РЕШЕНИЯ из раздела X
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА сборника заданий КУЗНЕЦОВА Л. А.

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число?

        Попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 31.


        1.31 Множество всех дифференцируемых функций a=f(t), b=g(t); если сумма любых двух элементов определяется в виде , а произведение на число в виде .

Решение

        1) Произведение двух дифференцируемых функций является дифференцируемой функцией, то есть принадлежит заданному множеству.
        2) Произведение дифференцируемой функции и некоторого числа тоже является дифференцируемой функцией.
        3)Проверим выполнение аксиом.
        Очевидно, что     и     , то есть первые две аксиомы выполняются.
        Единственной функцией, при умножении на которую произвольной функции последняя не изменяется, является функция         .
        Эта функция играет роль нуля в рассматриваемом множестве.
        Функция         - противоположная к данной функции         , так как         . Противоположная функция определена не для каждой дифференцируемой функции, а только для тех функций, которые никогда не обращаются в нуль.
        Следовательно, рассматриваемое множество не является линейным пространством.