Парабола


        Рассмотрим параболу y = x 2, точку F( 0; 1/4 ) и горизонтальную прямую L, имеющую уравнение y = - 1/4. Смотри рисунок 1. Возьмём произвольную точку M(x;y), лежащую на параболе. Так как точка M лежит на параболе, то её координаты удовлетворяют уравнению параболы. То есть y = x 2. Поэтому координаты точки M( x; y 2).

        Найдём расстояние от точки M до точки F.

        Теперь найдём расстояние от точки M до прямой L. Как видно из рисунка это расстояние равно сумме ординаты точки M и 1/4. То есть, расстояние до прямой равно
ρL = y + 1/4 = x 2 + 1/4 .

        Таким образом, найденные расстояния равны. То есть, для любой точки параболы ρM = ρL .
        Это фундаментальное геометрическое свойство любой параболы.
        То есть, для любой параболы существует такая точка, называемая фокусом, и такая прямая, называемая директрисой, что расстояние от произвольной точки параболы до фокуса и до директрисы одинаковы.
        Например, для параболы x = – y2 фокусом является точка F(-1/4; 0 ) , а директрисой прямая x = 1/4. Смотри рисунок 2.

        Ось параболы это её ось симметрии. Фокус находится на оси параболы, а директриса перпендикулярна оси. Фокус находится внутри параболы, а директриса вне её.
        Если парабола имеет уравнение
x2 = 2py                                 (1)
или
y2 = 2px                                 (2)
то число p называется параметром параболы.
        Уравнения (1) и (2) называются каноническими уравнениями параболы.
        Фокус и директриса удалены от вершины на одинаковое расстояние p/2. Смотри рисунки 3.

        Найдём фокус и директрису для параболы y = ax2 + bx+c. Для этого приведем это уравнение к каноническому виду (1).

        Отсюда находим координаты вершины A:
        и        
С другой стороны, разделив на a, получим
или
Здесь    . Из этого условия найдём параметр параболы    .
        Ось параболы — вертикальная прямая, проходящая через вершину A.
        Фокус лежит на оси на расстоянии p/2 от вершины. Следовательно, координаты фокуса
То есть, фокус параболы имеет координаты
               

        Теперь, напишем уравнение директрисы. Так как ось вертикальна, то директриса горизонтальна. Её уравнение

        Пример: Построить параболу y = - 0,5x2 + x – 2.
Найти её фокус и директрису.

        Решение.
Имеем a = - 0,5; b = 1; c = -2.
Координаты вершины xA = 1, yA = - 2 + 0,5 = - 1,5.
Координаты фокуса xF = 1, yF = - 2 + 0,5 – 0,5 = - 2.
Ординаты точек директрисы yL = - 2 + 0,5 + 0,5 = - 1. Поэтому, уравнение директрисы y = - 1. Построение на рисунке 4.

Оптическое свойство параболы






Ссылки                   Контакты