|
Разность квадратов тригонометрических функций В этой статье рассмотрены формулы для разности квадратов тригонометрических функций, среди них: формула для разности квадратов синусов различных аргументов; формула для разности квадратов косинусов различных аргументов; формула для разности квадратов синуса и косинуса; формула для разности квадратов косинуса и синуса. Итак, запишем формулы разности квадратов тригонометрических функций, а ниже приведём их доказательство. Вот эти формулы.
Разность квадратов синусов различных аргументов равна произведению синуса разности и синуса суммы соответствующих аргументов, то есть $$ sin^2x - sin^2y = sin(x-y)\cdot sin(x+y).$$
Доказательство. Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \). В результате получим $$ sin^2x - sin^2y = (sinx - siny)\cdot (sinx + siny).$$
Используем формулы для разности и суммы синусов, известные из тригонометрии, $$ sinx - siny = 2 sin\left({{x-y} \over 2}\right) \cdot cos\left({{x+y} \over 2}\right),$$ $$ sinx + siny = 2 sin\left({{x+y} \over 2}\right) \cdot cos\left({{x-y} \over 2}\right).$$
Тогда выражение запишется $$ sin^2x - sin^2y = 2 sin\left({{x-y} \over 2}\right) cos\left({{x+y} \over 2}\right) \cdot 2 sin\left({{x+y} \over 2}\right) cos\left({{x-y} \over 2}\right)=$$ $$ = 2 sin\left({{x-y} \over 2}\right) cos\left({{x-y} \over 2}\right) \cdot 2 sin\left({{x+y} \over 2}\right) cos\left({{x+y} \over 2}\right).$$
В заключении используем формулу синуса двойного угла и получим $$ sin^2x - sin^2y = sin(x-y)\cdot sin(x+y).$$
Что и требовалось доказать.
Разность квадратов косинусов различных аргументов равна произведению синуса разности аргумента отнимаемого и аргумента вычитаемого и синуса суммы соответствующих аргументов, то есть $$ cos^2x - cos^2y = sin(y-x)\cdot sin(x+y).$$
Доказательство.Воспользовавшись формулой разности квадратов, формулами разности и суммы косинусов, а также формулой синуса двойного угла, запишем $$ cos^2x - cos^2y = (cosx - cosy)\cdot (cosx + cosy)=$$ $$ =\left(cos\left({{x+y}\over 2}+{{x-y} \over 2}\right)-cos\left({{x+y} \over 2}-{{x-y} \over 2}\right)\right)\cdot\left(cos\left({{x+y} \over 2}+{{x-y} \over 2}\right)+cos\left({{x+y} \over 2}-{{x-y} \over 2}\right) \right)=$$ $$ =-2 sin\left({{x+y} \over 2}\right) \cdot sin\left({{x-y} \over 2}\right)\cdot 2 cos\left({{x+y} \over 2}\right)\cdot cos\left({{x-y} \over 2}\right) = $$ $$ =-2 sin\left({{x-y} \over 2}\right) \cdot cos\left({{x-y} \over 2}\right)\cdot 2 sin\left({{x+y} \over 2}\right) \cdot cos\left({{x+y} \over 2}\right) = $$ $$ =-sin\left(x-y \right) \cdot sin\left(x+y \right)=sin\left(y-x \right) \cdot sin\left(x+y \right). $$ Что и требовалось доказать.Разность квадратов косинуса и синуса различных аргументов равна произведению косинуса разности и косинуса суммы соответствующих аргументов, то есть $$ cos^2x - sin^2y = cos(x-y)\cdot cos(x+y).$$
Доказательство.Используя предыдущий результат для разности квадратов косинусов и формулы приведения получим $$ cos^2x - sin^2y = cos^2x - cos^2\left({\pi \over 2}-y \right)= sin\left({\pi \over 2}-y-x\right)\cdot sin\left(x+{\pi \over 2}-y\right)=$$ $$ = cos\left(x+y\right)\cdot cos\left(y-x\right)=cos\left(x-y\right)\cdot cos\left(x+y\right). $$ Что и требовалось доказать.Разность квадратов синуса и косинуса различных аргументов равна произведению косинуса разности и косинуса суммы соответствующих аргументов, взятому со знаком минус, то есть $$ sin^2x - cos^2y = -cos(x-y)\cdot cos(x+y).$$
Доказательство.Аналогично предыдущему $$ sin^2x - cos^2y = sin^2x - sin^2\left({\pi \over 2}-y \right)= sin\left(x-{\pi \over 2}+y\right)\cdot sin\left(x+{\pi \over 2}-y\right)=$$ $$ = -cos\left(x+y\right)\cdot cos\left(y-x\right). $$ Что и требовалось доказать.Разность квадратов тангенсов$$ tg^2x - tg^2y =tg(x-y)\cdot tg(x+y)\cdot \left(1-tg^2x\cdot tg^2y\right),$$
или$$ {{tg^2x - tg^2y}\over {\left(1-tg^2x\cdot tg^2y\right)}} =tg(x-y)\cdot tg(x+y).$$ Доказательство.Используем формулы для тангенса разности и тангенса суммы. Запишем $$ tg(x-y)\cdot tg(x+y)={{tgx-tgy} \over {1+tgx\cdot tgy}}\cdot {{tgx+tgy} \over {1-tgx\cdot tgy}}= {{tg^2x-tg^2y} \over {1-tg^2x\cdot tg^2y}}. $$ Отсюда $$ tg^2x - tg^2y =tg(x-y)\cdot tg(x+y)\cdot \left(1-tg^2x\cdot tg^2y\right).$$ Что и требовалось доказать.Разность квадратов котангенсов$$ ctg^2x - ctg^2y ={{1-ctg^2x\cdot ctg^2y}\over {ctg(x-y)\cdot ctg(x+y)}},$$ или$$ {{1-ctg^2x\cdot ctg^2y}\over {ctg^2x - ctg^2y}}=ctg(x-y)\cdot ctg(x+y).$$ Доказательство.$$ ctg(x-y)\cdot ctg(x+y) =\left({{tgx-tgy}\over {1+tgx\cdot tgy}}\right)^{-1}\cdot \left({{tgx+tgy}\over {1-tgx\cdot tgy}}\right)^{-1}=\left({{tg^2x-tg^2y}\over {1-tg^2x\cdot tg^2y}}\right)^{-1}=$$ $$ ={{1-tg^2x\cdot tg^2y}\over {tg^2x-tg^2y}}= \left(1-{1\over {ctg^2x}}\cdot {1\over{ctg^2y}}\right)\cdot\left({1\over {ctg^2x}}-{1\over{ctg^2y}}\right)^{-1} = $$
$$={{ctg^2x\cdot ctg^2y-1}\over {ctg^2x\cdot ctg^2y}}\cdot \left( {{ctg^2y-ctg^2x}\over {ctg^2x\cdot ctg^2y}}\right)^{-1}={{ctg^2x\cdot ctg^2y-1}\over {ctg^2x\cdot ctg^2y}}\cdot{{ctg^2x\cdot ctg^2y}\over {ctg^2y-ctg^2x}} =$$ $$={{ctg^2x\cdot ctg^2y-1}\over {ctg^2y-ctg^2x}} = {{1-ctg^2x\cdot ctg^2y}\over {ctg^2x-ctg^2y}}.$$
Отсюда $$ ctg^2x - ctg^2y ={{1-ctg^2x\cdot ctg^2y}\over {ctg(x-y)\cdot ctg(x+y)}}. $$ Что и требовалось доказать.
|
Ссылки Контакты