ПРИМЕР ПО МАТЕМАТИКЕ

      Найти частное решение дифференциального уравнения ,   удовлетворяющее начальным условиям .

РЕШЕНИЕ

      Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого либо частного решения исходного уравнения.
      То есть .
Здесь: - общее решение исходного уравнения;
      - общее решение соответствующего однородного уравнения       - некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.

      Решим сначала соответствующее однородное уравнение. Для этого решим сначала характеристическое уравнение .

      Дискриминант .
      Корни комплексные сопряжённые .
      Следовательно, общее решение однородного уравнения .
      В правой части исходного уравнения стоит функция , которую можно представить в виде . Здесь - многочлены нулевой степени (то есть, попросту говоря, числа).
      - не является корнем характеристического уравнения.
      Поэтому, частное решение исходного уравнения будем искать в виде
      Найдём первую и вторую производные от этого решения и подставим в исходное уравнение.
      Первая производная .       Вторая производная
      Подставляя в исходное уравнение, получим .
      Отсюда и A=0,25 .
      Тогда частное решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Следовательно, общее решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Найдём производную от общего решения
      Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями , .
      Отсюда и .

      Тогда частное решение, удовлетворяющее начальным, условиям имеет вид .


      Ответ: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

ПРИМЕРЫ ПО ФИЗИКЕ

1) На тонкую пленку в направлении нормали к её поверхности падает монохроматический свет с длиной волны         . Отраженный от неё свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину dmin пленки, если показатель преломления материала пленки n=1,4.


2) На стержне длиной l= 30 см укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период T простых гармонических колебаний данного физического маятника. Массой стержня пренебречь.


3) Определить количество вещества         и число         молекул азота массой        .

4) Черное тело имеет температуру         . Какова будет температура        тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в n= 5 раз?