ПРИМЕР ПО МАТЕМАТИКЕ

      Найти частное решение дифференциального уравнения ,   удовлетворяющее начальным условиям .

РЕШЕНИЕ

      Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого либо частного решения исходного уравнения.
      То есть .
Здесь: - общее решение исходного уравнения;
      - общее решение соответствующего однородного уравнения       - некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.

      Решим сначала соответствующее однородное уравнение. Для этого решим сначала характеристическое уравнение .

      Дискриминант .
      Корни комплексные сопряжённые .
      Следовательно, общее решение однородного уравнения .
      В правой части исходного уравнения стоит функция , которую можно представить в виде . Здесь - многочлены нулевой степени (то есть, попросту говоря, числа).
      - не является корнем характеристического уравнения.
      Поэтому, частное решение исходного уравнения будем искать в виде
      Найдём первую и вторую производные от этого решения и подставим в исходное уравнение.
      Первая производная .       Вторая производная
      Подставляя в исходное уравнение, получим .
      Отсюда и A=0,25 .
      Тогда частное решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Следовательно, общее решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Найдём производную от общего решения
      Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями , .
      Отсюда и .

      Тогда частное решение, удовлетворяющее начальным, условиям имеет вид .


      Ответ: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

ПРИМЕР ПО ФИЗИКЕ