ПРИМЕР ПО МАТЕМАТИКЕ

Найти частное решение дифференциального уравнения ,  удовлетворяющее начальным условиям .
РЕШЕНИЕ
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого либо частного решения исходного уравнения. То есть .
Здесь - общее решение исходного уравнения, - общее решение соответствующего однородного уравнения , а - некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Решим сначала соответствующее однородное уравнение .
Для этого решим сначала характеристическое уравнение .
Дискриминант . Корни комплексные сопряжённые .
Следовательно общее решение однородного уравнения .
      В правой части исходного уравнения стоит функция , которую можно представить в виде . Здесь - многочлены нулевой степени (то есть попросту говоря числа). - не является корнем характеристического уравнения.
      Поэтому, частное решение исходного уравнения будем искать в виде
     Найдём первую и вторую производные от этого решения и подставим в исходное уравнение. Первая производная . Вторая производная
      Подставляя в исходное уравнение, получим .
      Отсюда и A=0,25 .
      Тогда частное решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Следовательно общее решение исходного уравнения будет иметь вид .
      Найдём производную от общего решения
      Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями , .
      Отсюда и .
      Тогда частное решение, удовлетворяющее начальным условиям имеет вид .
      Ответ: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

ПРИМЕР ПО ФИЗИКЕ