Примерная программа по Высшей математике
в техническом ВУЗе

Лекции

(разбивка по часам)

Первый семестр.

Алгебра и аналитическая геометрия.

1.        Скалярные и векторные физические величины. Сила, перемещение, скорость, угловая скорость, момент. Вектор как направленный отрезок прямой. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор. Длина вектора. Равенство векторов. Элементарные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства элементарных операций над векторами. Векторное пространство.
2.        Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис на прямой, базис на плоскости и базис в пространстве. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
3.        Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат. Радиус вектор. Координаты точки. Столбец координат. Изоморфизм пространства радиус-векторов и векторов-столбцов их координат. Векторы размерности n. Арифметическое пространство.
4.        Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Работа силы на перемещение. Проекция вектора. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
5.        Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Площадь параллелограмма. Момент силы.
6.        Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда. Двойное векторное произведение.
7.        Определитель второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты сомножителей.
8.        Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
9.        Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Траектория точки, движущейся по инерции (I закон Ньютона). Взаимное расположение прямых и плоскостей.
10.        Система линейных уравнений. Правило Крамера.
11.        Матрицы, линейное пространство матриц порядка m?n. Квадратные матрицы. Нулевая и единичная матрицы. Перемножение матриц.
12.        Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу). Ранг матрицы.
13.        Невырожденная квадратная матрица. Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричная запись решения системы n уравнений с n неизвестными.
14.        Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли о существовании решения системы n уравнений с m неизвестными.
15.        Однородная систем линейных уравнений. Пространство решений. Размерность пространства решений. Общее решение однородной системы линейных уравнений.
16.        Неоднородная система линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
17.        Линейный оператор над векторным пространством и его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
18.        Преобразование поворота декартовой прямоугольной системы координат. Понятие вектора как инвариантного объекта.
19.        Полярная система координат на плоскости. Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат.
20.        Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.
21.        Мнимая единица. Комплексные числа. Решение квадратных уравнений. Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Эйлера. Тригонометрическая и показательная форма записи. Комплексная плоскость.
22.        Многочлен. Корень многочлена. Теорема Безу. Сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители. Основная теорема алгебры.
23.        Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Правильные и неправильные дроби. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
24.        Эллипс, гипербола, парабола. Определение и геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых. Траектории планет.
25.        Поверхность вращения. Цилиндрические и конические поверхности. Конусы и цилиндры. Канонические уравнения поверхностей второго порядка – сферы, эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов.
26.        Обсуждение и обзор пройденного материала.


Функции одной переменной. Ряды.

1.        Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Числовая прямая. Открытые и замкнутые интервалы. Окрестность точки. Символы общности, существования, принадлежности элемента множеству. Модуль числа. Свойства модуля.
2.        Числовая последовательность как функция целочисленной переменной. Примеры числовых последовательностей. Факториал. Предел числовой последовательности. Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел. Единственность предела.
3.        Функция. Способы задания функций. Параметрически и неявно заданные функции. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
4.        Предел функции в точке. Определение Коши и Гейне. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пределы сумм, произведений и частного функций, имеющих пределы.
5.        Бесконечно малые функции. Функция как сумма постоянной и бесконечно малой. Сравнение и свойства бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.
6.        Ограниченные и неограниченные функции. Пределы функции на бесконечности и бесконечно большие функции.
7.        Замечательные пределы. Пределы слева и справа. Практические приемы вычисления пределов. Предельные переходы в неравенствах.
8.        Непрерывность функции в точке и на интервале. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.
9.        Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность сложной и обратной функции.
10.        Производная функции. Мгновенная скорость. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости функции.
11.        Касательная к графику функции. Тангенс угла наклона касательной. Уравнение касательной и нормали. Линеаризация дифференцируемых функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
12.        Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций.
13.        Производные и дифференциалы высших порядков. Ускорение точки.
14.        Теоремы о дифференцируемых функциях: Ролля, Лагранжа, Коши.
15.        Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей вида.
16.        Монотонность функции. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
17.        Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Исследование функции.
18.        Формулы Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для функции. Остаточный член. Формула Маклорена.
19.        Числовые ряды. Частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Апории Зенона.
20.        Исследование сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
21.        Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
22.        Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Исследование сходимости на концах интервала.
23.        Ряды Тейлора и Маклорена. Единственность. Биноминальный ряд. Разложение элементарных функций в ряд.
24.        Применение рядов Тейлора и Маклорена для вычисления пределов, приближённых вычислений и исследование поведения функции в критических точках.
25.        Обсуждение и обзор пройденного материала.
26.        Обсуждение и обзор пройденного материала.


Функции нескольких переменных.

1.        Точечные множества в пространстве R2 . Окрестности точки в R2; предельная, внутренняя, изолированная и граничные точки множества, открытые и замкнутые множества, связные множества. Область пространства.
2.        Функция двух переменных. Линии уровня. Графическое изображение функции двух переменных. Распределение температур, плотности и т. п. величин на плоскости. Предел и непрерывность функций двух переменных.
3.        Производная по направлению и частные производные. Формула, выражающая производную по направлению через частные производные.
4.        Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал.
5.        Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Применение дифференциала для приближённых вычислений.
6.        Производные сложных функций. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявным образом.
7.        Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.
8.        Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
9.        Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
10.        Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
11.        Распределение скалярной физической величины в пространстве и времени. Функции трех и более переменных. Многомерный континуум – пространство Rn. Поверхности уровня. Пределы, непрерывность, дифференцируемость.
12.        Обсуждение и обзор пройденного материала.


Интегрирование.

1.        Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
2.        Методы интегрирования: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
3.        Интегрирование рациональных функций.
4.        Интегрирование иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
5.        Определенный интеграл. Задачи определения массы стержня с переменной плотностью и площади криволинейной трапеции. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем.
6.        Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
7.        Вычисление площадей плоских фигур в декартовой и полярной системе координат.
8.        Площадь неограниченной области. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Дирихле. Интегральный признак сходимости ряда.
9.        Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теоремы сравнения.
10.        Длина дуги. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
11.        Кривизна кривой. Радиус кривизны. Центр кривизны.
12.        Геометрические и механические приложения определённого интеграла.
13.        Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.
14.        Обсуждение и обзор пройденного материала.

Второй семестр

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.        Обыкновенные дифференциальные уравнения. Порядок уравнения. Общее и частное решения. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
2.        Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным.
3.        Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
4.        Огибающая семейства решений. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка.
5.        Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
6.        Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача о второй космической скорости.
7.        Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Гармонические колебания.
8.        Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части. Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы.
9.        Задача об устойчивости стержня. Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
10.        Общий случай неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Суперпозиция решений.
11.        Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
12.        Задача о движении материальной точки в пространстве. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, частные и общее решения.
13.        Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
14.        Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Траектория дифференциального уравнения в окрестности особой точки.
15.        Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
16.        Обсуждение и обзор пройденного материала.


Кратные интегралы и векторный анализ.

1.        Двойной интеграл. Определение и свойства. Задачи о массе пластины с переменной плотностью. Объём тела. Масса пространственного тела.
2.        Тройной интеграл. Обобщение на n-мерный случай. Свойства кратных интегралов.
3.        Правильная область. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла.
4.        Вычисление двойных и тройных интегралов посредством сведения к повторным.
5.        Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан и его геометрический смысл.
6.        Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщённым полярным координатам.
7.        Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.
8.        Геометрические и механические приложения кратных интегралов. Статический момент, моменты инерции, изгибающий и крутящий моменты.
9.        Масса дуги кривой с переменной линейной плотностью. Криволинейный интеграл по длине дуги.
10.        Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение заряда, распределённого по поверхности с переменной поверхностной плотностью.
11.        Векторная функция скалярного аргумента. Годограф. Движение точки в пространстве. Траектория, скорость и ускорение. Предел и непрерывность векторной функции.
12.        Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов.
13.        Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой. Соприкасающаяся плоскость.
14.        Поле температуры сплошной среды, поле вектора скорости. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Уравнение векторной линии.
15.        Градиент скалярного поля. Свойства градиента. Связь градиента и производной по направлению.
16.        Поток векторного поля. Определение. Примеры: поток жидкости через поверхность. Магнитный поток.
17.        Вычисление потока.
18.        Формула Остроградского. Дивергенция. Соленоидальное векторное поле. Векторная трубка.
19.        Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Вычисление криволинейного интеграла.
20.        Формула Грина. Формула Стокса. Ротор векторного поля.
21.        Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Безвихревое векторное поле. Потенциальное векторные поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности. Электростатическое и гравитационное поля. Работа потенциального векторного поля. Закон сохранения энергии.
22.        Обсуждение и обзор пройденного материала.

Практические занятия

(разбивка по парам)

Первый семестр.

Алгебра и аналитическая геометрия.

1.        Векторы. Длина вектора. Координаты вектора. Направляющие косинусы. Сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные и компланарные векторы. Орт вектора.
2.        Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Разложение вектора по базису.
3.        Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
4.        Определители второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей.
5.        Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Вычисление площади параллелограмма. Условие коллинеарности. Смешанное произведение векторов. Вычисление объёма параллелепипеда. Условие компланарности векторов.
6.        Уравнение прямой на плоскости.
7.        Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
8.        Система линейных уравнений. Правило Крамера.
9.        Матрицы. Действия над матрицами. Транспонирование матриц. Ранг матрицы. Способы отыскания ранга матрицы.
10.        Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
11.        Умножение матриц. Обратная матрица.
12.        Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
13.        Условие совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
14.        Общее решение однородной системы n уравнений с m неизвестными. Общее решение неоднородной системы n уравнений с m неизвестными.
15.        Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные векторы линейного оператора.
16.        Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Решение квадратных уравнений. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра.
17.        Многочлен. Корень многочлена. Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители. Деление многочленов. Дробная рациональная функция. Выделение целой части из неправильной дроби. Простейшие дроби. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
18.        Эллипс, гипербола, парабола. Построение. Геометрические свойства. Канонические и параметрические уравнения этих кривых.
19.        Изображение поверхностей второго порядка. Поверхности вращение. Конусы и цилиндры. Сфера. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.
20.        Полярная система координат на плоскости. Построение линий в полярной системе координат. Связь между координатами точки в полярной и декартовой системе координат. Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве. Формулы связи между координатами.
21.        Контрольная работа.


Функции одной переменной. Ряды.

1.        Предел последовательности. Вычисление пределов последовательности.
2.        Графики основных элементарных функций. Основные приёмы построения графиков. Гиперболические функции и их графики.
3.        Функции. Способы задания и исследования функций, их ограниченность и неограниченность. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции).
4.        Предел функции в точке. Вычисление пределов. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые функции.
5.        Пределы на бесконечности. Замечательные пределы. Односторонние пределы. Приёмы вычисления пределов.
6.        Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
7.        Производная. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.
8.        Касательная и нормаль к графику функции. Задачи на применение производных в механике, физике и геометрии.
9.        Дифференциал. Применение дифференциала к приближённым вычислениям.
10.        Производная обратной функции. Производная сложной функции.
11.        Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций заданных параметрически.
12.        Повторное дифференцирование. Производные и дифференциалы высших порядков.
13.        Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
14.        Исследование функции с помощью производной первого порядка. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
15.        Исследование функции с помощью производных первого и второго порядков.
16.        Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Построение графика функции при помощи асимптот
17.        Общая схема исследования функции. Построение графиков.
18.        Формулы Тейлора и Маклорена. Применение к исследованию локального поведения функции. Вычисление пределов. Приближённые вычисления.
19.        Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Оценка остаточного члена ряда.
20.        Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов. Оценка остаточного члена ряда.
21.        Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Исследование сходимости степенного ряда на концах интервала.
22.        Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в ряд. Область сходимости.
23.        Контрольная работа.


Функции нескольких переменных.

1.        Функции двух переменных. Область определения. График. Линии уровня. Предел функции. Непрерывность.
2.        Частные производные, производные по направлению. Дифференцируемость функции, полный дифференциал.
3.        Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям.
4.        Производные сложных функций. Производные неявных функций.
5.        Частные производные и дифференциалы высших порядков.
6.        Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к приближённым вычислениям.
7.        Экстремумы функции. Исследование на экстремум.
8.        Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
9.        Функция трёх переменных. Область определения. Поверхности уровня. Частные производные. Производная по направлению. Дифференциал. Производные высших порядков.
10.        Контрольная работа.


Интегрирование.

1.        Простейшие приёмы интегрирования: подведение под знак дифференциала; выделение полного квадрата.
2.        Замена переменной в неопределённом интеграле. Формула интегрирования по частям.
3.        Интегрирование рациональных выражений.
4.        Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.
5.        Определённый интеграл. Теорема о среднем. Площадь криволинейной трапеции. Производная интеграла по верхнему и нижнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
6.        Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.
7.        Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.
8.        Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Вычисление объёмов.
9.        Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Исследование сходимости.
10.        Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовой и полярной системе координат.
11.        Приближенное вычисление определённых интегралов при помощи степенных рядов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.
12.        Контрольная работа.

Второй семестр

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.        Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным.
2.        Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли и метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
3.        Дифференциальное уравнение второго и высших порядков. Методы понижения порядка.
4.        Решение некоторых задач приводящих к дифференциальным уравнениям.
5.        Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
6.        Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Общее решение. Выбор частного решения в зависимости от вида правой части.
7.        Суперпозиция решений. Метод Лагранжа.
8.        Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п. при наличии трения и вынуждающей силы. Резонанс.
9.        Интегрирование дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями. Устойчивость стержня. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
10.        Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
11.        Интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
12.        Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
13.        Контрольная работа.


Кратные интегралы и векторный анализ.

1.        Криволинейный интеграл по длине дуги.
2.        Двойной интеграл в декартовых координатах. Вычисление двойного интеграла посредством сведения к повторному. Перемена порядка интегрирования.
3.        Вычисление объёмов тел, моментов инерции и статических моментов сечений. Вычисление массы плоской пластины.
4.        Двойной интеграл в полярных и обобщённых полярных координатах.
5.        Тройной интеграл в декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла посредством сведения к повторному.
6.        Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Геометрические и механические приложения.
7.        Площадь поверхности. Поверхностный интеграл по площади поверхности.
8.        Производная векторной функции. Правила дифференцирования векторов. Уравнение векторной линии.
9.        Градиент скалярного поля. Оператор «набла».
10.        Поток векторного поля. Вычисление потока.
11.        Формула Остроградского. Дивергенция.
12.        Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Вычисление криволинейного интеграла. Формулы Грина и Стокса.
13.        Потенциальное векторное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном векторном поле.
14.        Контрольная работа.