Вопросы к экзамену по математике в III семестре

1. Числовой ряд.
2. Сходимость и сумма ряда.
3. Необходимое условие сходимости ряда.
4. Гармонический ряд.
5. Достаточные признаки сходимости рядов.
6. Признаки сравнения рядов.
7. Признаки ДАламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
8. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
9. Абсолютная и условная сходимость.
10. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
11. Теорема Лейбница.
12. Функциональный ряд.
13. Область сходимости.
14. Равномерная сходимость.
15. Степенной ряд. Теорема Абеля.
16. Ряды Тейлора и Маклорена.
17. Биноминальный ряд.
18. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
19. Применение рядов в приближённых вычислениях.
20. Комплексные числа и действия над ними.
21. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
22. Формула Эйлера.
23. Алгебраическая форма комплексного числа.
24. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
25. Формула Муавра.
26. Расширенная комплексная плоскость.
27. Множества точек на плоскость.
28. Функция комплексного переменного.
29. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.
30. Ряды с комплексными членами.
31. Представление функций при помощи рядов.
32. Показательная и логарифмическая функции.
33. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
34. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
35. Дифференцируемость функции комплексного переменного.
36. Производная.
37. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
38. Первообразная и неопределённый интеграл.
39. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге.
40. Теорема Коши для односвязной области.
41. Теорема Коши для многосвязной области.
42. Интегральная формула Коши.
43. Теорема Морера. Ряд Тейлора.
44. Ряд Лорана.
45. Кольцо сходимости.
46. Свойства ряда Лорана.
47. Изолированные особые точки.
48. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
49. Вычет функции.
50. Теорема о вычетах.
51. Вычисление вычетов.
52. Применение вычетов к вычислению интегралов.
53. Логарифмический вычет.
54. Принцип аргумента.
55. Теорема Руше.
56. Основная теорема алгебры.
57. Преобразование Лапласа и его свойства.
58. Оригинал и изображение.
59. Дифференцирование и интегрирование изображения.
60. Функция Хевисайда.
61. Теорема смещения.
62. Теорема запаздывания.
63. Теорема подобия.
64. Свёртка функций.
65. Изображение основных элементарных функций.
66. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
67. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом 2пи.
68. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2l.
69. Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций.
70. Разложение непериодической функции в ряд Фурье.
71. Ряд Фурье в комплексной форме.
72. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
73. Интеграл Фурье.
74. Преобразования Фурье.
75. Интеграл Фурье в комплексной форме.
76. Множества
77. Основные операции над множествами.
78. Отношения и функции.
79. Мощность множества.
80. Конечные и бесконечные множества.
81. Бинарные отношения.
82. Матрица бинарного отношения.
83. Отношение эквивалентности.
84. Фактор-множества.
85. Отношение порядка.
86. Алгебраические системы.
87. Натуральные числа.
88. Принцип математической индукции.
89. Системы счисления.
90. Элементы теории графов.
91. Ориентированные и неориентированные графы.
92. Матрица смежности.
93. Матрица инцидентности.
94. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
95. Некоторые задачи теории графов.
96. Алгебра логики.
97. Формулы алгебры логики.
98. Высказывания.
99. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность.
100. Функции алгебры логики.
101. Эквивалентность формул.
102. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.
103. Совершенные нормальные формы.
104. Минимизация булевых функций.
105. Карты Карно.
106. Принцип двойственности.
107. Полные системы булевых функций.
108. Функциональная декомпозиция.

I семестр

Вводная лекция.

Математика в инженерных задачах.

Математическое моделирование физических явлений и химических процессов. Примеры.
Элементы линейной алгебры.

Матрицы.

Основные операции над матрицами. Определители матриц n-го порядка и их свойства.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теория Кронекера-Капелли. Решение и исследование СЛАУ методом Гаусса. Однородные системы.
Векторная алгебра.

Векторы.

Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис в . Теорема разложения. Евклидово пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Элементы линейной аналитической геометрии. Соответствие между геометрическими образами и уравнениями. Плоскость. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды уравнений. Основные задачи на прямую и плоскость. Плоскость и прямая в .
Кривые и поверхности 2-го порядка. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Преобразование систем координат. Приведение уравнений к каноническому виду. Поверхность 2-го порядка в трехмерном пространстве. Исследование формы методом параллельных сечений. Полярная и цилиндрическая системы координат.


Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Взаимно-однозначное соответсвие. Числовые множества. Теорема Кантора.
Комплексные числа.

Алгебраическая и тригонометрическая форма.

Формула Муавра. Показательная форма.
Предел числовой последовательности и предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Односторонние пределы. Непрерывность функции.
Точки разрыва, их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных в точке и на отрезке.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции. Производные элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость кривой в точке и на отрезке.
Асимптоты кривой. Общая схема построения графика. Формула Тейлора. Представление важнейших элементарных функций с помощью формулы Тейлора. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Открытые и замкнутые множества. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве. Предел и непрерывность функции. Частные производные и производная по направлению. Градиент скалярного поля. Дифференцируемая функция.
Дифференциал функции. Касательная и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функций в области. Условный экстремум.
Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Дифференцирование функции. Условия Коши-Римана.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница.

II семестр
Неопределенные интегралы. Свойства неопределенных интегралов. Методы замены переменной и интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей, алгебраических рациональностей, тригонометрических функций.
Определенный интеграл и его приложения. Химические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.
Несобственные интегралы, их свойства и вычисление. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда. Приложения определенных интегралов (вычисление площади, объемов, длины дуги, площади поверхности вращения, центра тяжести, моментов инерции). Приближенные методы интегрирования.
Функциональные ряды. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора. Ряды Фурье по ортогональной системе функций. Тригонометрические ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши. Химическая задача с дифференциальными уравнениями. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и ЛНДУ. Метод вариации постоянных. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Системы дифференциальных уравнений. Методы интегрирования.
Линейная однородная и неоднородная системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Кратные и криволинейные интегралы. Интегральная сумма и определенный интеграл по фигуре. Основные свойства. Геометрический смысл. Вычисление криволинейных интегралов по дуге. Двойной интеграл в декартовой и полярной системах координат. Тройной интеграл.
Вычисление поверхностных интегралов. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Векторный анализ и теория поля. Скалярное и векторное поля. Скалярные и векторные поля могут использоваться при решении задачи по физике. Поток вектора через ориентированную поверхность. Дивергенция векторного поля. Солиноидальные поля. Теорема Остроградского Гаусса в векторной записи. Циркуляция. Потенциальное векторное поле. Потенциал. Ротор векторного поля. Теорема Стокса в векторной записи. Потенциальное несжимаемое векторное поле. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Гамильтона. Задача Дирихле для круга.

III семестр
Системы множеств и элементы комбинаторики. Операции над множествами. Кольцо множеств. Алгебра множеств. -алгебры. Основной принцип комбинаторики. Сочетания, перестановка, размещения.
Случайные события в теории вероятностей. Стохастический эксперимент, пространство элементарных событий. Операции над событиями. Относительна частота события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство. Статистический и геометрический методы определения вероятности. Условные вероятности. Формула умнолжения. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. Независимые случайные события. Последовательные испытания. Схема Бернули. Предельные теоремы в схеме Бернули.
Случайные величины и функции распределения. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины и формы задания их распределений. Непрерывные с.в. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики с.в. Примеры стандартных моделей распределения дискретных и непрерывных с.в. Нормальное распределение. Совместное распределение с.в. Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Теорема о независимости. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернули. Случайные процессы. Понятие о задании случайного процесса. Математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса. Процесс Пуассона. Понятие о процессах Маркова.
Элементы математической статистики. Выборочный метод исследования случайной величины. Генеральная и выборочная совокупность. Статистический закон распределения и его графическое представление. Числовые оценки параметров распределения. Метод моментов. Классификация точечных оценок. Принцип максимального правдоподобия. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
Элементы дискретной математики. Введение в математическую логику. Логика высказываний. Алгебра логики. Булевы функции. Исчисление высказываний. Алгебраические структуры. Группы, кольца и поля. Элементы теории кодирования. Основные понятия теории графов. Деревья и циклы. Численные характеристики графов. Матрицы, порождаемые графом.