БЕСПЛАТНЫЕ РЕШЕНИЯ из раздела VIII
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ сборника заданий КУЗНЕЦОВА Л. А.

Задание 12. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г.

        Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 14

        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6

        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12

        Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18

        Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24

        Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30

        Вариант 31

---

        12.14 Найти модуль циркуляции векторного поля    
вдоль контура
   

Решение

        Согласно формуле Стокса:

.
        Здесь         - участок поверхности, ограниченный контуром         ,         - единичный вектор нормали к данной поверхности.

        Найдём ротор векторного поля


        Тогда интеграл запишется


        Здесь         - направляющие косинусы нормали к поверхности или координаты единичного вектора нормали.
        Из общего уравнения плоскости запишем координаты нормального вектора       .
        Находим длину нормального вектора
.
        Тогда направляющие косинусы
.

        Элемент поверхности
.

        Проекцией поверхности         на плоскость         является круг

        Этот круг имеет центр в начале координат и радиус        .

        Площадь данного круга
.
        Переходя от поверхностного интеграла к двойному, получим

.

        Тогда модуль циркуляции       .
        Ответ: Модуль циркуляции равен      .

---