Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

        Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже.







        7.30. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

x·y2·dx + y·(x2 + y2)·dy = 0.

Решение.

        Запишем исходное дифференциальное уравнение в виде:

P(x; y)·dx + Q(x; y)·dy = 0.

        Здесь:

P(x; y) = x·y2;

Q(x; y) = y·(x2 + y2).

        Найдём частные производные.

∂P/∂y = 2·x·y;

∂Q/∂x = 2·x·y.

        Заметим, что

∂P/∂y = 2·x·y = ∂Q/∂x.

        Следовательно, исходное уравнение есть дифференциальное уравнение в полных дифференциалах du = 0.

        Общее решение дифференциального уравнения   u(x, y) = C, где

u(x, y) = x0xP(x, y0)dx + y0yQ(x, y)dy.

        Подставим P(x, y) и Q(x, y) в последнее выражение. Получим:

u(x, y) = x0xx·y02dx + y0y y·(x2 + y2)dy =

= 0,5·(x·y0)2 − 0,5·(x0·y0)2 + 0,5·(x·y)2 − 0,5·(x·y0)2 + 0,25·y4 − 0,25·(y0)4 =

= 0,5·(x·y)2 + 0,25·y4 + C1.

        Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения запишется в виде:

0,5·(x·y)2 + 0,25·y4 + C1 = C.

        Запишем общий интеграл в виде:

y2·(2·x2 + y2) = C.

        Ответ: Общий интеграл дифференциального уравнения:

y2·(2·x2 + y2) = C.