ИНТЕГРАЛ

        Определение. Функция         называется первообразной от функции         на отрезке        , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство        .

        Очевидно, если         первообразная от функции         на отрезке        , то для любого постоянного числа         функция         тоже является первообразной для данной функции.

        Теорема. Если         и         - две первообразные от функции         на отрезке        , то их разность равна постоянному числу.

        Из вышесказанного следует, что если для данной функции         найдена какая-нибудь первообразная         , то любая другая первообразная для         имеет вид        .

        Определение. Если функция         является первообразной для        , то выражение         называется неопределённым интегралом от функции         и обозначается символом        .

        Таким образом,

если



        Выражение         называется подынтегральным выражением, функция         - подынтегральной функцией, а переменная         - переменной интегрирования.

        Можно сказать, что неопределённый интеграл представляет собой совокупность всех первообразных данной функции.

        Нахождение неопределённого интеграла (первообразной) для данной функции         называется интегрированием данной функции.

        Определение. Если функция         является первообразной для         на отрезке        , то число равное разности         называется определённым интегралом от функции         на отрезке         и обозначается

        Концы отрезка         называются, соответственно, нижним и верхним пределом интегрирования.

        Таким образом, по определению



        Последняя формула носит название формулы Ньютона-Лейбница. Заметим, что значение определённого интеграла не зависит от выбора первообразной.
        Таблица неопределённых интегралов

Свойства неопределённого интеграла

        Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть если        , то


        Свойство 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению


        Свойство 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы


        Свойство 4. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов


        Свойство 5. Неопределённый интеграл от разности функций равен соответствующей разности неопределённых интегралов


        Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла


        Свойство 7. Если

то

Свойства определённого интеграла

        Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть


        Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов


        Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла


        Свойство 4. Если на отрезке        , где        , функции         и         удовлетворяют условию        , то


        Свойство 5. Если         и         - наименьшее и наибольшее значения функции         на отрезке         и        , то


        Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак


        Свойство 7. Для любых трёх чисел         справедливо равенство

если только все три интеграла существуют.
        Свойство 8 (Теорема о среднем). Если функция         непрерывна на отрезке       , то на этом отрезке найдётся такая точка        , что справедливо равенство:

Геометрические приложения определённого интеграла

        Если на отрезке         функция        , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой        , осью         и прямыми         (рис. 9), равна


        Если         на отрезке        , то площадь соответствующей криволинейной трапеции



Рисунок 9.

        В общем случае, когда функция         меняет знак на отрезке         (рис. 10), площадь, ограниченная кривой        , осью         и прямыми         может быть найдена как сумма площадей фигур, лежащих выше и ниже оси        . Иначе



Рисунок 10.

        Длина дуги кривой        , ограниченной точками с абсциссами         , вычисляется по формуле


        Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси         криволинейной трапеции, ограниченной кривой        , осью         и прямыми         . Объём тела вращения


        Пусть кривая задана уравнениями в параметрической форме
,
где         и         . Площадь криволинейной трапеции в этом случае равна

а длина дуги


        Пусть кривая задана уравнением в полярной системе координат
,
где         - непрерывная функция, определённая при         (рис. 11). Площадь сектора, ограниченного заданной кривой и лучами         ,         , равна



Рисунок 11.

        Длина дуги кривой, определённой в полярной системе координат уравнением        , вычисляется по формуле