ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.

          Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

          Два ненулевых коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.

          Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в разные стороны.

          Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

          Свойства: Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;

          Лемма: Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число , что
          .

          Координаты вектора, с началом в точке и концом в точке , равны разностям координат конца и начала, то есть .

          Координаты середины отрезка АВ, с концами в точках и , равны .

          Длина вектора вычисляется по формуле .

          Расстояние между точками и выражается формулой

          .

          Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом имеет вид:

          .

          Уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид:

          .

          Уравнение прямой принимает вид .

ПЛАНИМЕТРИЯ

          Прямоугольный треугольник



Произвольный треугольник






Четырёхугольники.

Площадь трапеции: .

Площадь параллелограмма:


Площадь ромба:


Площадь произвольного четырёхугольника: .




Правильные многоугольники

Угол правильного многоугольника:

Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Теорема: : В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Площадь правильного n-угольника:

Здесь - периметр многоугольника, а - радиус вписанной окружности.

Сторона правильного многоугольника равна:

Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны соотношением:



Окружность и круг

Площадь круга:

Длина окружности:

Длина дуги окружности с углом равна

Площадь сектора с углом равна

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Куб

Объём куба со стороной равна

Площадь полной поверхности куба:


Призма

Объём призмы (или параллелепипеда):


Пирамида

Объём пирамиды:


Цилиндр

Объём цилиндра:


Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра: .


Конус

Объём конуса:

Площадь боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса: .
.


Сфера и шар

Площадь сферы: .

Объём шара: .