АЛГЕБРА

Формулы сокращённого умножения.




Свойства степеней и корней.




Свойства логарифмов.




Арифметическая прогрессия.




Геометрическая прогрессия.




Комбинаторика.

Факториалом целого числа \( n>0 \) называется произведение \(1\cdot2\cdot...\cdot n\). Обозначается факториал символом \(n!\)
Следовательно, $$ n!=1\cdot2\cdot...\cdot n. $$ При этом \(0!=1\). Таким образом $$ 0!=1,\quad 1!=1,\quad 2!=1\cdot2=2,\quad 3!=1\cdot2\cdot3=6.\quad $$ $$ (n+1)!=n!\cdot(n+1). $$ Факториал равен числу перестановок \(n\) объектов или символов. Например, 3 буквы А, Б, В можно переставить 3!=6 способами:
АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА.
Легко убедится, что других перестановок не существует.

Число сочетаний$$ C^k_n=\binom{n}{k}={n! \over {k!\cdot(n-k)!}}$$ Числа сочетаний называют также биноминальными коэффициентами так как они входят в бином НЬютона $$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot a^k\cdot b^{n-k}}.$$ Например, $$(a+b)^1=a+b,$$ $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$ $$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.$$ В частности, при \(a=b=1\) получим
$$ \sum_{k=0}^n {C^k_n}=2^n,$$
а при \(a=-1\) и \(b=1\) получим
$$ \sum_{k=0}^n {(-1)^k\cdot C^k_n}=0.$$
Действительно, $$ 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot 1^k\cdot 1^{n-k}}=\sum_{k=0}^n {C^k_n}$$ и $$0=(-1+1)^n=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot (-1)^k\cdot 1^{n-k}}=\sum_{k=0}^n {C^k_n\cdot (-1)^k\cdot 1}=\sum_{k=0}^n {(-1)^k \cdot C^k_n}.$$





Ссылки                   Контакты