Решение задач по векторной алгебре предполагает знание следующих тем.

Вектора. Линейные операции над векторами. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Координаты вектора и его направляющие косинусы. Длина вектора. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведения векторов.

Умение решить задачу на уравнений плоскости и прямой подразумевает знания вопросов:

Плоскость и общее уравнение плоскости. Различные виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Различные виды уравнения прямой на плоскости. Общее и нормальное уравнения прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условия принадлежности прямой к плоскости.

Чтобы решить задачу по линейной алгебре необходимы следующие знания.

Понятие матрицы. Различные виды матриц. Действия над матрицами. Понятие определителя. Свойства определителей. Миноры и их алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Разложение определителя по элементам строки и по элементам столбца.

Присоединенная матрица. Обратная матрица, условие её существования. Вычисление обратной матрицы. Преобразование матриц. Ступенчатая матрица. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Основные понятия. Отыскание решений линейной системы уравнений методом Гаусса. Определение линейного пространства. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры линейных пространств. Свойства произвольных линейных пространств. Понятие линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении элемента пространства по данному базису и о единственности такого разложения.

Система линейных однородных уравнений. Система линейных неоднородных уравнений.

Понятие линейного оператора. Пространство линейных операторов. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Алгоритм нахождения собственных векторов.

О преобразовании декартовых прямоугольных координат на плоскости. Линии 2го порядка. Квадратичная форма от двух переменных. Классификация линий 2го порядка. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

Для решения задач на числовые множества и последовательности необходимо закрепить следующие понятия.

Числовые последовательности. Основные понятия. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Сходящиеся последовательности. Основные теоремы о числовых последовательностях.

Задачи по высшей математике на темы: Функции одной переменной. Предел и непрерывность.

Функция одной переменной. Основные понятия. Предел функции в бесконечности. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Асимптотические формулы для бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции. Асимптоты графика функции.

Непрерывность функции. Три определения непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции. Основные свойства непрерывных функций: теоремы БольцаноКоши, теоремы Вейерштрасса. Сложная функция. Теорема о непрерывности сложной функции. Обратная функция. Теорема о непрерывности обратной функции.

Задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Дифференцирование.

Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Понятие обратной функции. Теорема о существовании обратной функции и теорема о производной обратной функции. Геометрический смысл производной обратной функции. Вычисление производных функций ах, arcsinx, arctgx. Правило дифференцирования сложной функции. Логарифмическая производная. Производные показательностепенной и гиперболических функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Параметрическое задание функции. Теорема о дифференцировании функции, заданной параметрически. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Геометрический смысл теорем Ролля и Ферма. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Неопределенности. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение функций ех, sinx, cosx, (1+x)c, где c – вещественное число, по формуле Маклорена. Примеры вычисления пределов с использованием формулы Маклорена. Признак монотонности функции. Точки локального экстремума функции. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Теорема о направлениях выпуклости графика функции

Решение задачи по математике на темы: Функции одной переменной. Интегрирование.

Первообразная и неопределённый интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Три группы интегралов, интегрируемых по частям.

Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Условие существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Понятие рациональной функции от двух аргументов. Интегрирование рациональных функций. Интегралы от дробно-линейной и квадратичной иррациональностей. Интегрирование биномиальных и трансцендентных выражений. Неберущиеся интегралы. Полярная система координат. Квадратура криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Длина дуги кривой. Площадь поверхности и объем тела вращения.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Основные понятия и простейшие свойства. Методы интегрирования и признаки сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Абсолютная сходимость. Признак сходимости несобственного интеграла от бесконечно малой функции. Понятие о несобственном интеграле от неограниченной функции.

Решение задач по высшей математике из области функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.

Арифметическое n-мерное пространство. Открытая и замкнутая области. Сходимость в n-мерном пространстве. Понятие функции многих переменных. Поверхности и линии уровня. Предел функции в точке. Непрерывность функции многих переменных. Основные свойства непрерывных функций.

Задач по высшей математике на тему: Дифференцирование функций нескольких переменных.

Полное и частные приращения функции. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций.

Дифференциал функции. Полный и частные дифференциалы функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Инвариантность формы полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Неявные функции. Теорема существования неявной функции одной переменной. Вывод формулы для нахождения производной неявной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Символическая запись n-го дифференциала. Формула Тейлора для функции одной переменной и для функции двух переменных. Экстремумы функции нескольких переменных. Обобщенная теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Критические и стационарные точки. Теорема об экстремуме функции двух переменных. Условные (относительные) экстремумы. Условные стационарные точки. Метод отыскания условных экстремумов (метод Лагранжа). Функция Лагранжа.

Задач по математике на тему: Интегрирование функций нескольких переменных.

Определение и условия существования двойного и тройного интегралов. Геометрическая трактовка двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Координатные линии. Криволинейные координаты. Полярные координаты, как один из видов криволинейных координат.

Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Якобиан. Переход к полярным координатам. Вычисление тройных интегралов. Приложения двойных и тройных интегралов. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление. Двусторонняя и односторонняя поверхности. Поверхностные интегралы второго рода. Общий поверхностный интеграл второго рода и его вычисление. Связь с поверхностным интегралом первого рода.

Элементы векторного анализа.

Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность и дифференцируемость векторфункции. Правила дифференцирования векторфункции. Производные и дифференциалы высших порядков векторфункции. Формула Тейлора. Скалярное и векторное поля. Потенциальное поле. Условия потенциальности векторного поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Соленоидальное векторное поле. Формула Остроградского в векторной и скалярной формах. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной и скалярной формах. Формула Грина. Операторы Гамильтона и Лапласа. Применение их в векторном анализе.

Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения (общие понятия). Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. О решении задачи Коши. Теорема Коши и её геометрическое содержание.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения первого порядка. Методы Лагранжа и Бернулли решения линейного неоднородного уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.

Методы понижения порядка трёх типов уравнений. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (основные понятия). Линейная зависимость и линейная независимость функций. Вронскиан. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о пространстве решений однородного уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит кратные корни. Структура общего решения однородного уравнения в случае, когда его характеристический многочлен содержит комплексные корни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Системы дифференциальных уравнений.Устойчивость. Динамические системы.

Системы дифференциальных уравнений (основные понятия). Задача Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теорема Коши. Вронскиан системы вектор-функций. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной линейной системы. Об общем решении неоднородной линейной системы. Дифференциальная однородная система с постоянной матрицей. Метод Эйлера. Устойчивость (по Ляпунову) решений дифференциальной системы (общие понятия). Устойчивость линейных систем. Устойчивость по первому приближению точек покоя нелинейных систем. Динамические системы дифференциальных уравнений.

Ряды.

Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости рядов. Признаки сравнения рядов. Признаки Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Теорема Лейбница.

Функциональный ряд.

Область сходимости. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Биноминальный ряд. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Применение рядов в приближённых вычислениях.

Высшая математика. Решение задач на тему: Комплексные числа.

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Муавра.

Математика. Решение задач на тему: Функции комплексного переменного.

Расширенная комплексная плоскость. Множества точек на плоскость. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного.

Ряды с комплексными членами. Представление экспоненциальной, тригонометрических и гиперболических функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

Интеграл от функции комплексного переменного.

Первообразная и неопределённый интеграл. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Ряд Тейлора.

Ряд Лорана. Вычеты.

Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Свойства ряда Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.

Высшая математика. Решение задач на тему: Операционное исчисление.

Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование изображения. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свёртка функций. Изображение основных элементарных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

Ряды Фурье. Интеграл Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.

Элементы дискретной математики.

Множества и основные операции над множествами. Отношения и функции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.

Бинарные отношения. Матрица бинарного отношения. Отношение эквивалентности. Фактор-множества. Отношение порядка. Алгебраические системы. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Системы счисления. Элементы теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Некоторые задачи теории графов. Алгебра логики. Формулы алгебры логики. Высказывания. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквивалентность. Функции алгебры логики. Эквивалентность формул. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Совершенные нормальные формы.

Основные классические уравнения математической физики. Статистические и феноменологические модели.

Волновое уравнение колебаний струны. Уравнение колебаний мембраны. Уравнение теплопроводности. Уравнение диффузии. Уравнения Лапласа и Пуассона. Классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения характеристик. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Каноническая форма уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа. Начальные и граничные условия. Понятие корректности поставленной краевой задачи. Аналитические методы решения волнового уравнения гиперболического типа. Метод Даламбера. Метод разделения переменных Фурье для волнового уравнения. Метод Римана решения волнового уравнения. Телеграфное уравнение. Решение уравнения распространения электромагнитных колебаний в длинном проводнике методом Римана. Метод Пуассона решения волнового уравнения. Формула Пуассона. Интегральное представление решения уравнения Лапласа для круга. Интеграл Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона для шара. Метод функций Грина для уравнения Лапласа. Уравнение Гельмгольца. Решение уравнения Гельмгольца методом разделения переменных Фурье в цилиндрической системе координат. Аналитические методы решения уравнений параболического типа. Обзор решений уравнения теплопроводности: стержень конечной длины и пластина без внутренних источников тепла и с внутренними источниками тепла; бесконечный цилиндр. Решение уравнения теплопроводности для пластинки прямоугольной формы методом разделения переменных Фурье. Математические модели механики сплошной среды. Понятие тензора напряжений и вектора напряжений на ориентированной площадке. Численные методы решения уравнений математической физики. Метод конечных разностей. Шаблоны сеток. Сеточные операторы уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Сеточный оператор уравнения Лапласа в двумерной области. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике.

Решение задач по математике предполагает знание тем из следующего списка.

Вектор, его координаты, длина, направляющие косинусы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Коллинеарные векторы. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Уравнение прямой на плоскости.

Определители и их основные свойства. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Контрольная работа «Аналитическая геометрия». Действия с матрицами. Обратная матрица. Матричные уравнения.Решение систем уравнений матричным методом. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы уравнений. Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.Линейный оператор и его матрица в данном базисе. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Контрольная работа «Линейная алгебра». Квадратичные формы. Уравнения линии второго порядка.Эллипс. Гипербола. Парабола.Поверхности второго порядка.Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Простейшие приёмы вычисления пределов. Бесконечно малые функции, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение при вычислении пределов. Бесконечно большие функции.Односторонние пределы функции в точке. Непрерывность функции в точке. Условие непрерывности. Виды точек разрыва. Асимптоты графика функции.Комбинирование приёмов вычисления пределов. Контрольная работа «Пределы».Понятие производной. Таблица производных. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Геометрический и механический смысл производной. Производная сложной функции. Дифференциал функции. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.Исследование функций с помощью производных первого и второго порядка. Наибольшее и наименьшее значения функции. Общая схема исследования функции и построение её графика. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Исследование кривых, заданных параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах.Формула Тейлора. Контрольная работа «Дифференцирование. Графики». Простейшие приемы интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала. Метод выделения полного квадрата.Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле.Определенный интеграл. Производные интеграла по верхнему и нижнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница. Теорема о среднем. Вычисление определённого интеграла по частям. Замена переменной в определённом интеграле.Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений.Интегрирование иррациональностей.Вычисление площадей плоских фигур.Вычисление длин дуг плоских кривых. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Исследование на сходимость.Несобственный интеграл от функции с бесконечными разрывами. Исследование на сходимость. Контрольная работа «Интегралы».Функции нескольких переменных, её область определения, график. Поверхности и линии уровня. Предел. Непрерывность функции. Частные производные. Производные по направлению. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Производные сложных функций. Производные неявно заданных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Условные экстремумы. Формула Тейлора. Контрольная работа «Функции нескольких переменных». Двойной интеграл в декартовых координатах. Расстановка пределов интегрирования и вычисление. Перемена порядка интегрирования. Двойной интеграл в полярных координатах. Обобщенные полярные координаты. Геометрические приложения двойного интеграла. Тройной интеграл в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Тройной интеграл в сферических координатах.Криволинейные интегралы по длине дуги кривой.Поверхностный интеграл по площади поверхности.Контрольная работа «Кратные интегралы». Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Градиент.Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция. Формула Стокса. Потенциальное поле. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка уравнения. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора. Определение вида частного решения. Принцип суперпозиции решений линейных дифференциальных уравнений. Метод Лагранжа. Системы дифференциальных уравнений. Структура общего решения однородной и неоднородной линейных систем. Критерий устойчивости и неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений по первым приближениям. Числовой ряд. Вычисление суммы ряда. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Действия над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Функция комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Первообразная и неопределённый интеграл. Вычисление контурных интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Разложение функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Вычет функции. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Логарифмический вычет. Контрольная работа «ТФКП» Преобразование Лапласа и его свойства. Отыскание изображения функции. Восстановление оригинала по известному изображению. Дифференцирование оригиналов и изображений. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом . Тригонометрический ряд Фурье для чётной и нечётной функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Контрольная работа «Операционное исчисление. Ряды Фурье».

Помощь в решении задач по математике

Содержание учебной дисциплины “Высшая математика”

I семестр

Вводная лекция.

Математика в инженерных задачах.

Математическое моделирование физических явлений и химических процессов. Примеры.
Элементы линейной алгебры.

Матрицы.

Основные операции над матрицами. Определители матриц n-го порядка и их свойства.
Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теория Кронекера-Капелли. Решение и исследование СЛАУ методом Гаусса. Однородные системы.
Векторная алгебра.

Векторы.

Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис в . Теорема разложения. Евклидово пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Элементы линейной аналитической геометрии. Соответствие между геометрическими образами и уравнениями. Плоскость. Прямая и плоскость в пространстве. Различные виды уравнений. Основные задачи на прямую и плоскость. Плоскость и прямая в .
Кривые и поверхности 2-го порядка. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Преобразование систем координат. Приведение уравнений к каноническому виду. Поверхность 2-го порядка в трехмерном пространстве. Исследование формы методом параллельных сечений. Полярная и цилиндрическая системы координат.


Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Взаимно-однозначное соответсвие. Числовые множества. Кольцо множеств. Алгебра множеств. -алгебры. Теорема Кантора.
Комплексные числа.

Алгебраическая и тригонометрическая форма.

Формула Муавра. Показательная форма.
Предел числовой последовательности и предел функции одной переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые. Односторонние пределы. Непрерывность функции.
Точки разрыва, их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных в точке и на отрезке.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции. Производные элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость кривой в точке и на отрезке.
Асимптоты кривой. Общая схема построения графика. Формула Тейлора. Представление важнейших элементарных функций с помощью формулы Тейлора. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Открытые и замкнутые множества. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве. Предел и непрерывность функции. Частные производные и производная по направлению. Градиент скалярного поля. Дифференцируемая функция.
Дифференциал функции. Касательная и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функций в области. Условный экстремум.
Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Дифференцирование функции. Условия Коши-Римана.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница.

Векторный анализ и теория поля. Скалярное и векторное поля. Скалярные и векторные поля могут использоваться при решении задачи по физике. Поток вектора через ориентированную поверхность. Дивергенция векторного поля. Солиноидальные поля.