|
ПРОИЗВОДНЫЕ
Непрерывность функции
Определение. Функция  называется непрерывной в точке  , если она имеет предел в этой точке и
Теорема. Если функции и  непрерывны в точке , то их сумма и  , разность  и произведение  также непрерывны в данной точке. Если  , то и частное двух непрерывных функций  есть непрерывная функция.
Определение. Функция и называется непрерывной на отрезке  , если она непрерывна во всех точках этого отрезка. Функция называется непрерывной на интервале  , если она непрерывна во всех точках этого интервала.
Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция не является непрерывной в точке .
Классификация точек разрыва
Существует три типа точек разрыва функций.
Определение. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если данная функция не является непрерывной в точке и если существует предел
Возможно, что функция определена в точке устранимого разрыва , тогда
Функция может быть неопределённой в точке .
Пример. Функция
имеет устранимый разрыв в точке  .
Можно так доопределить функцию в точке устранимого разрыва, что она станет непрерывной. Например, следующая функция является непрерывной в точке :
Определение. Точка называется точкой конечного разрыва (точкой разрыва I –го рода) функции , если существуют пределы функции слева и справа от точки , не равные друг другу. То есть, если
Пример. Функция
имеет конечный разрыв в точке .
Определение. Точка называется точкой разрыва II – го рода (точкой бесконечного разрыва) функции , если не существует, по крайней мере, одного из односторонних пределов функции в точке или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример. Функция
имеет в точке разрыв второго рода.
Разрывы первого и второго рода устранить нельзя.
Производная функции. Дифференцируемость
При изменении аргумента на величину приращения  , функция изменяется на величину приращения
 .
Определение. Функция  называется дифференцируемой в точке  , если её приращение  в этой точке можно представить в виде
 ,
где  - величина, не зависящая от , а  - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем (при  )
Величина есть производная функции в точке и обозначается  .
Произведение  называется главной линейной частью приращения функции или дифференциалом и обозначается  .
Таким образом, по определению,  . Из последнего равенства получаем выражение для производной
Существует другое определение дифференцируемости функции и производной.
Определение. Если в точке существует предел
тогда функция называется дифференцируемой в точке , этот предел называется производной функции в точке .
Другими словами, производной функции в точке , называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.
Теорема. Приведённые определения эквивалентны.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.
Пусть функция дифференцируема. Возможно, что её производная , называемая первой производной или производной первого порядка, снова является дифференцируемой функцией. Тогда производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка. Вторая производная имеет следующие обозначения:
Аналогично определяются производные третьего и последующих порядков:
………………………………
Геометрический и механический смысл производной
Если кривая задана уравнением и функция дифференцируема в точке , то производная функции равна тангенсу угла, образованного касательной к кривой и осью  , то есть  .
Это позволяет записать уравнение касательной к графику функции , проведённой в точке :
 .
Уравнение нормали
Пусть материальная точка движется вдоль прямой, и её перемещение  зависит от времени  по закону, выражаемому уравнением  . Тогда мгновенная скорость в момент времени равна производной функции  .
Правила дифференцирования
-
-
-
-
-
-
-
Производная сложной функции
-
Если функции и
 - взаимно обратные функции, то
-
Если функция задана параметрически
то её производная равна
Таблица производных
|
|