СБОРНИК ЗАДАЧ АРУТЮНОВА Ю. С.

        Сборник задач Арутюнова представляет собой методические указания и контрольные задания с программой. Все задачи решены. Вы можете скачать решебник Арутюнова на нашем сайте совершенно бесплатно.
        Наш решебник как и сборник заданий Арутюнова Ю. С. содержит разные разделы.
        В раздел "Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии" входят следующие задачи.

• 1-10.Даны векторы а(1;2;3), b(–1;3;2), c(7;–3;5) и d(6;10;17) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
• 11-20. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж. А1(4;2;5) А2(0;7;2) А3(0;2;7) А4(1;5;0).
• 21. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1;0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
• 22. Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из его диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.
• 23. Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.
• 24. Даны две вершины А(–3;3) и В(5;–1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
• 25. Даны вершины А(–3; –2), В(4; –1), С(1;3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции.
• 26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.
• 27. Даны две вершины А(2;–2) и В(3;–1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенного через третью вершину С.
• 28. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника.
• 29. Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+1=0 и у–1=0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.
• 30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны.
• 31. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5;0) относится как 2:1.
• 32. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(–1;0) вдвое меньше расстояния её от прямой х=–4.
• 33. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х+8=0 относятся как 5:4.
• 34. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).
• 35. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5.
• 36. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).
• 37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у–4=0.
• 38. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноотстоит оси ординат и от окружности x2+y2=4x. Замечание. Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками фигуры Ф.
• 39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и от прямой у+2=0.
• 40. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(–4;0) втрое дальше, чем от начала координат.
• 41-50. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, давая ? значения через промежуток ?/8, начиная от ?=0 до ?=2?; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

Элементы линейной алгебры.

В этом разделе решебника Арутюнова содержатся и такие задачи

• 51-60. Дана система линейных уравнений. Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
• 61-70. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x1’’ , x2’’ , x3’’ через х1, х2, х3.
• 71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы А.
• 81-90. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
• 91-100. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w3+z=0.

Введение в математический анализ.

Эта часть решебника и задачника содержит задачи:

• 101-105. Построить график функции y=Asin(ax+b) преобразованием графика функции y=sinx.
• 106-110. Построить график функции y=Acos(ax+b) преобразованием графика функции y=cosx.
• 111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
• 121-130. Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти её пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
• 131-140. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Производная и её приложения.

• 141-150. Найти производные dy/dx данных функций.
• 151-160. Найти первую и вторую производную для заданных функций.
• 161-170. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)=ex, вычислить значения ea и eb с точностью 0,001.
• 171-180. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b].
• 181. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?
• 182. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
• 183. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
• 184. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.
• 185. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.
• 186. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
• 187. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
• 188. В точках А и В находятся источники света силы соответственно F1 и F2. Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М. Замечание. Освещенность точки источником света силы F обратно пропорциональна квадрату расстояния r её от источника света.
• 189. Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х её поперечного сечения на квадрат его высоты.
• 190. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно р1 руб., а стенок – р2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

Приложение дифференциального исчисления.

Решебник Арутюнова содержит всего три задачи из этого раздела, как и сам задачник.

• 191-210. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования построить её график.
• 211-220. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t0.
• 221-230. Определить количество действительных корней уравнения f(x)=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

• 231-240. Дана функция z=f(x,y). Показать, что
• 241-250. Даны функция z=f(x,y) и две точки А(x0;y0) и В(x;y). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(x0,y0,z0).
• 251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
• 261-270. Даны функция z=f(x,y), точка А(x0;y0) и вектор a(a1;a2). Найти: 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.
• 271-280. Экспериментально получены пять значений искомой функции y=f(x) при пяти начениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x) в виде y=ax+b.

Неопределённый и определённый интегралы.

• 281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п.а и б) проверить результаты дифференцированием.
• 291-300. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
• 301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
• 311. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x2+1 и прямой y=3x+7.
• 312. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0?t?2?) и осью ОХ.
• 313. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардоидой r=3(1+cos?).
• 314. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r=4sin2t.
• 315. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами.
• 316. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной полуэллипсом, параболой и Осью Оу.
• 317. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной кривыми.
• 318. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки А(2;0) до точки В(6;8).
• 319. Вычислить длину дуги кардиоиды r=3(1–coso).
• 320. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды x=3(t-sint), y=3(1–cost).

Дифференциальные уравнения.

Задачник Арутюнова как и наш решебник содержит раздел, посвящённый дифф.уравнениям. Этот раздел включает следующие задания.

• 321-340. Найти общее решение дифференциального уравнения.
• 341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y0, y'(0)=y'0.
• 351-360. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать в матричной форме данную систему и её решение.
• 361. Материальная точка массы m=2 г без начальной скорости медленно погружается в жидкость. Сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения с коэффициентом пропорциональности k=2 г/с. Найти скорость точки через 1 с после начала погружения.
• 362. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v0=12 км/ч. На полном ходу её мотор был выключен, и через 10с скорость лодки уменьшилась до v1= 6 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 мин после остановки мотора.
• 363. Пуля, двигаясь со скоростью v0= 400 м/с, входит в достаточно толстую стену. Сопротивление стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности k= 7 м-1. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения в стену.
• 364. Материальная точка массой m=1 г движется прямолинейно. На неё действует в направлении движения сила, пропорциональная времени, протекавшему от момента, когда скорость точки равнялась нулю, с коэффициентом пропорциональности k1=2 г•см/с3; кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости движения с коэффициентом пропорциональности k2=3 г/с. Найти скорость точки через 3 с после начала движения.
• 365. В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью q=5 л/мин, а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось m0= 10 кг соли. Сколько будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?
• 366. Кривая проходит через точку (2;–1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k=3. Найти уравнение кривой.
• 367. Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.
• 368. Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой её точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k=3. найти уравнение кривой.
• 369. Кривая проходит через точку (1;5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.
• 370. Кривая проходит через точку (2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ.

• 371-380. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).
• 381-390. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.
• 391-400. Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой от точки А до точки В. Сделать чертеж.
• 401-410. Даны векторное поле F=Xi+Yj+Zk и плоскость Ax+By+Cz+D=0 (р), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Обозначим основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), через ?, ограничивающий ? контур – через ?, нормаль к ?, направленную вне пирамиды V, – через n. Требуется вычислить: 1) поток векторного поля F через поверхность ? в направлении нормали n; 2) циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью n; 3) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.
• 411-420. Проверить, является ли векторное поле F=Xi+Yj+Zk потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля F найти его потенциал.

Ряды.

• 421-430. Исследовать сходимость числового ряда.
• 431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.
• 441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив под интегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.
• 451-460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y0.
• 461-470. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.

• 471-480. Методом Даламбера найти уравнение u=u(x;t) формы однородной струны, определяемой волновым уравнением, если в начальный момент t0=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяется соответственно заданными функциями.
• 481-490. Представить заданную функцию W=f(z) , где z=x+iy, в виде W=u(x,y)+iv(x,y); проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение её производной в заданной точке z0.
• 491-500. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0 и определить область сходимости ряда.
• 501-510. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
• 511-520. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

Теория вероятностей и математическая статистика.

Есть задачники по высшей математике не включающие заданий по теории вероятностей. Но задачник и решебник Арутюнова не из их числа. И вот, например, такие задачи.

• 521. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.
• 522. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 чёрных шаров. Из первой урны переложили во вторую на удачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется чёрным.
• 523. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим –0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.
• 524. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 900 раз.
• 525. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,9, второе - 0,95, третье - 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
• 526. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.
• 527. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.
• 528. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.
• 529. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливают 10%, на втором – 30%, и на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 –если на втором станке, и 0,9 – если на третьем. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
• 530. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеется по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены кождой команды вынимают наудачу по одному билету из определённой урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.
• 531-540. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х1 и х2, причем х1
• 541-550. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
• 551-560. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (а;в).
• 561-570. Задана матрица Р1 вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг. Найти матрицу Р2 перехода из состояния i в состояние j за два шага.
• 571-580. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s.

        Вы можете скачать задачник Арутюнова с нашего сайта.

        Вот так выглядит сборник заданий Арутюнова Ю. С. по высшей математике.

.

Пример решения задач высшей математики из Арутюнова Ю. С.